Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Определение

Метрическое пространство есть множество точек с фиксированной функцией расстояния (также называется метрикой) , где обозначает множество вещественных чисел. Для любых точек из эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

1. (аксиома тождества).
2. (аксиома симметрии).
3. (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть (это вытекает из аксиомы треугольника при ) и расстояние от до такое же, как и от до .

Неравенство треугольника означает, что пройти от до можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти от до , а потом от до .

Обозначения

Обычно расстояние между точками и в метрическом пространстве обозначается или .

• В метрической геометрии принято обозначение или , если необходимо подчеркнуть что речь идет о . Реже употребляются обозначения и .
• В классической геометрии приняты обозначения или (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Примеры

• Дискретная метрика: , если , и во всех остальных случаях.
• Вещественные числа с функцией расстояния и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.

• Пусть  — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства в метрическое пространство . Расстояние между двумя отображениями и из этого пространства определяется как

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве .

В частном случае, когда  — компактное пространство,  — числовая прямая, получается пространство всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.

• Пусть , ,  — пространства функций на отрезке , соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

• В пространстве k раз непрерывно дифференцируемых функций метрика вводится по формуле:

где  — метрика равномерной сходимости на (см. выше).

• Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния

  .

  • Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;
  • в случае если размерность равна двум то плоскостью Минковского.

• Любое связное риманово многообразие можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.
• Множество вершин любого связного графа можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому рёбру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
• Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика — пример, который нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
• Множество компактных подмножеств любого метрического пространства можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.

Конструкции

• Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:

Эти метрики эквивалентны друг другу.

Связанные определения

• Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
• Метрика на называется внутренней, если любые две точки и в можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к .
• Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:

где есть точка в и  — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество является открытым, если для любой точки найдётся положительное число , такое, что множество точек на расстоянии меньше от принадлежит .

• Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
• Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
• Расстояние от точки до подмножества в определяется по формуле:

Тогда , только если принадлежит замыканию .

Свойства

• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
• Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
  • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
  • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Вариации и обобщения

• Для данного множества , функция называется псевдометрикой или полуметрикой на если для любых точек из она удовлетворяет следующим условиям:
  2. (симметрия);
  3. (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве , где .

• Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

  Для всех , и в .

• Иногда удобно рассматривать -метрики, то есть метрики со значениями . Для любой -метрики можно построить конечную метрику которая определяет ту же топологию. Например

  или

Также, для любой точки такого пространства, множество точек находящихся от неё на конечном расстоянии образует обычное метрическое пространство. В частности любое пространство с -метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств с и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным .

История

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства^[1] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Примечания

См. также

• Индуцированная метрика

Литература

• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии
• Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1.
• Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10.
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение». — 2001. — Выпуск 9.
• Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.