Множество Смита – Вольтерра – Кантора (СВК), толстое множество Кантора, или ε-множество Кантора ^[1] — это пример множества точек на вещественной оси ${\displaystyle \mathbb {R} }$, которое нигде не плотно (в частности, оно не содержит какого-либо интервала), но, однако, имеет положительную меру. Множество Смита – Вольтерра – Кантора названо именами математиков Генри Смита^[en], Вито Вольтерра и Георга Кантора. Множество Смита – Вольтерра топологически эквивалентно классическому канторову множеству.

Построение

Аналогично построению канторова множества, множество Смита – Вольтерра – Кантора строится путём удаления определённых интервалов из единичного отрезка [0, 1].

Процесс начинается с удаления средней части длины 1/4 из интервала [0, 1] (что эквивалентно удалению 1/8 отрезка с обоих сторон от средней точки 1/2), так что оставшееся множество равно

${\displaystyle \left[0,{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},1\right].}$

Следующие шаги состоят из удаления подинтервалов длины 1/4ⁿ из середины каждого из оставшихся 2ⁿ⁻¹ интервалов. Так что на втором шаге удаляются интервалы (5/32, 7/32) и (25/32, 27/32), оставляя

${\displaystyle \left[0,{\frac {5}{32}}\right]\cup \left[{\frac {7}{32}},{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},{\frac {25}{32}}\right]\cup \left[{\frac {27}{32}},1\right].}$

Продолжаем бесконечно эти удаления, тогда множество Смита – Вольтерра – Кантора состоит из оставшихся точек. Рисунок ниже показывает первые пять итераций процесса.

Каждая последующая итерация в построении множества Смита – Вольтерра – Кантора удаляет пропорционально меньше из оставшихся интервалов. Этот процесс отличается от построения канторова множества, где пропорция удаляемой части на каждом интервале остаётся постоянной. В результате множество Смита – Вольтерра – Кантора имеет положительную меру, в то время как канторово множество имеет меру нуль.

Свойства

По построению, множество Смита – Вольтерра – Кантора не содержит интервалов, а потому имеет пустую внутренность. Множество является также пересечением последовательности замкнутых множеств, что означает, что множество замкнуто. В течение процесса построения множества из отрезка [0, 1] удаляются интервалы с общей длиной

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{2^{2n+2}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\,}$

что показывает, что оставшиеся точки имеют положительную меру 1/2. Это делает множество Смита – Вольтерра – Кантора примером замкнутого множества, граница которого имеет положительную меру Лебега.

Другие толстые множества Кантора

В общем случае можно удалить r_n из каждого оставшегося подинтервала на n-ом шаге алгоритма, что приводит к множествам, подобным множествам Кантора. Полученное множество будет иметь положительную меру тогда и только тогда, когда сумма последовательности меньше меры исходного интервала. Если середина интервала длины ${\displaystyle (a)^{n}}$ удаляется из ${\displaystyle [0,1]}$ на каждой n-й итерации, где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, мера Лебега оставшейся части равна

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a^{n+1}=a\sum _{n=0}^{\infty }(2a)^{n}=a{\dfrac {1}{1-2a}}}$

Таким образом, множество будет иметь положительную меру тогда и только тогда, когда

${\displaystyle 1-{\dfrac {a}{1-2a}}>0\equiv a<{\dfrac {1}{3}}}$

Прямое произведение множеств Смита – Вольтерра – Кантора может быть использовано для поиска имеющих ненулевую меру вполне несвязных множеств в пространствах более высоких размерностей. Применяя теоремы Данжуа – Риса^[en] к двумерным множествам этого типа можно найти жорданову кривую, имеющую положительную площадь ^[2].

См. также

• СВК используется при построении функции Вольтерра^[en] (см. внешнюю ссылку ниже).
• СВК является примером компактного множества, неизмеримого по Жордану.
• Характеристическая функция СВК является примером ограниченной функции, не интегрируемой по Риману на отрезке (0,1).

Примечания

Литература

Ссылки

• Wrestling with the Fundamental Theorem of Calculus: Volterra's function, talk by David Marius Bressoud